Le gradient scolaire de pratique sportive est-il identique à tous les âges, ou l’association entre diplôme et sport varie-t-elle selon le cycle de vie ?
À la fin de ce chapitre, vous saurez :
Un modèle additif suppose que l’association de \(X\) avec le résultat ne dépend pas de \(Z\) sur l’échelle du prédicteur linéaire :
\[ g(E[Y]) = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2Z. \]
Avec une interaction :
\[ g(E[Y]) = \beta_0 + \beta_1X + \beta_2Z + \beta_3XZ. \]
Le terme d’interaction demande si le contraste associé à \(X\) varie selon \(Z\).
Observer p < 0,05 dans un sous-groupe et p > 0,05 dans un autre n’est pas un test de la différence entre les deux associations. L’interaction doit être estimée directement.
Une interaction diplôme × âge répartit l’information entre 16 combinaisons. Il faut d’abord vérifier si chacune contient suffisamment d’observations pour rendre l’exercice raisonnable.
cellules <- enqueter |>
filter(
!is.na(age_classe_f),
!is.na(diplome_4),
!is.na(sport_regulier),
!is.na(sexe_f),
!is.na(sante_f)
) |>
count(age_classe_f, diplome_4, name = "n")
cellules |>
tidyr::pivot_wider(
names_from = diplome_4,
values_from = n
) |>
knitr::kable()| age_classe_f | Inférieur au bac | Bac | Bac+2 | Supérieur long |
|---|---|---|---|---|
| 18-29 | 151 | 102 | 111 | 148 |
| 30-44 | 438 | 220 | 185 | 237 |
| 45-59 | 561 | 235 | 157 | 189 |
| 60-79 | 388 | 122 | 73 | 68 |
Une interaction ne devient pas crédible parce que la formule R accepte *. Si certaines cellules sont très petites, les prédictions correspondantes seront nécessairement fragiles.
sport_age_diplome <- survey::svyby(
~sport_regulier,
~age_classe_f + diplome_4,
design,
survey::svymean,
na.rm = TRUE,
vartype = c("se", "ci")
)
sport_age_df <- svyby_ci_df(sport_age_diplome, "sport_regulier")ggplot(
sport_age_df,
aes(
x = age_classe_f,
y = estimation,
colour = diplome_4,
group = diplome_4
)
) +
geom_line(linewidth = .9) +
geom_point(size = 2.6) +
geom_errorbar(
aes(ymin = bas, ymax = haut),
width = .10,
alpha = .55
) +
scale_colour_manual(values = palette_enqueter[1:4]) +
scale_y_continuous(
labels = scales::percent_format(accuracy = 1),
limits = c(0, .80)
) +
labs(
x = "Classe d'âge",
y = "Pratique sportive au moins hebdomadaire",
colour = "Diplôme",
title = "Âge et diplôme structurent simultanément la pratique sportive",
subtitle = "Estimations pondérées et IC à 95 %",
caption = "Les segments relient des catégories ; ils ne représentent pas une trajectoire individuelle."
) +
theme_enqueter()
Deux régularités apparaissent : une baisse de la pratique avec l’âge et un gradient scolaire. L’interaction pose une question plus précise : l’écart entre diplômes se transforme-t-il avec l’âge ?
vars_int <- c("sport_regulier", "diplome_4", "age_classe_f", "sexe_f", "sante_f")
ids_int <- enqueter |>
filter(if_all(all_of(vars_int), ~ !is.na(.x))) |>
pull(id)
design_int <- subset(design, id %in% ids_int)
c(
N_design = nrow(design$variables),
N_commun = nrow(design_int$variables)
)N_design N_commun
3592 3385 Comparer un modèle additif et un modèle interactif sur des échantillons différents confondrait modification de la formule et modification de la population analysée.
mod_add <- survey::svyglm(
sport_regulier ~ diplome_4 + age_classe_f + sexe_f + sante_f,
design = design_int,
family = quasibinomial()
)
mod_int <- survey::svyglm(
sport_regulier ~ diplome_4 * age_classe_f + sexe_f + sante_f,
design = design_int,
family = quasibinomial()
)
test_int <- survey::regTermTest(
mod_int,
~diplome_4:age_classe_f
)p_interaction <- test_int$p
tibble::tibble(
Question = "Le gradient scolaire varie-t-il selon la classe d'âge ?",
`Test global du bloc d'interactions` = fmt_p(p_interaction),
`N commun aux deux modèles` = nobs(mod_int)
) |>
knitr::kable()| Question | Test global du bloc d’interactions | N commun aux deux modèles |
|---|---|---|
| Le gradient scolaire varie-t-il selon la classe d’âge ? | 0,154 | 3385 |
Le test global porte sur l’ensemble du bloc diplôme × âge. Il est préférable à une sélection de quelques coefficients d’interaction jugés intéressants après coup.
Dans un modèle avec interaction :
diplôme × âge modifient ces contrastes ;Une longue table de coefficients est donc peu adaptée à la communication. Nous utilisons les coefficients pour calculer ; nous utilisons les prédictions pour interpréter.
Fixons sexe = femme et santé = bonne, puis faisons varier âge et diplôme.
profils_int <- tidyr::expand_grid(
diplome_4 = factor(
levels(enqueter$diplome_4),
levels = levels(enqueter$diplome_4)
),
age_classe_f = factor(
levels(enqueter$age_classe_f),
levels = levels(enqueter$age_classe_f)
)
) |>
mutate(
sexe_f = factor("Femme", levels = levels(enqueter$sexe_f)),
sante_f = factor("Bonne", levels = levels(enqueter$sante_f))
)
pred_int <- predict(
mod_int,
newdata = profils_int,
type = "response",
se.fit = TRUE
)
ci_pred <- ci_estimation(
coef(pred_int),
SE(pred_int),
design_int,
lower = 0,
upper = 1
)
pred_int_df <- bind_cols(
profils_int,
ci_pred |>
transmute(
probabilite = estimation,
se,
bas,
haut
)
)ggplot(
pred_int_df,
aes(
x = age_classe_f,
y = probabilite,
colour = diplome_4,
group = diplome_4
)
) +
geom_line(linewidth = 1) +
geom_point(size = 2.5) +
geom_errorbar(
aes(ymin = bas, ymax = haut),
width = .08,
alpha = .45
) +
scale_colour_manual(values = palette_enqueter[1:4]) +
scale_y_continuous(
labels = scales::percent_format(accuracy = 1),
limits = c(0, .80)
) +
labs(
x = "Classe d'âge",
y = "Probabilité ajustée de sport régulier",
colour = "Diplôme",
title = "L'interaction se juge sur l'évolution des écarts, pas sur une seule courbe",
subtitle = "Profils fixés à sexe = femme et santé = bonne",
caption = "Prédictions conditionnelles issues du modèle survey ; jeu synthétique."
) +
theme_enqueter()
Une interaction est souvent plus lisible si l’on calcule directement le contraste substantif pour chaque valeur de la variable modératrice.
contrastes_age <- pred_int_df |>
select(age_classe_f, diplome_4, probabilite) |>
tidyr::pivot_wider(
names_from = diplome_4,
values_from = probabilite
) |>
mutate(
`Écart supérieur long – inférieur au bac` =
`Supérieur long` - `Inférieur au bac`
) |>
transmute(
`Classe d'âge` = age_classe_f,
`Inférieur au bac` = fmt_pct(`Inférieur au bac`, .1),
`Supérieur long` = fmt_pct(`Supérieur long`, .1),
`Écart` = fmt_pp(`Écart supérieur long – inférieur au bac`, .1)
)
knitr::kable(contrastes_age)| Classe d’âge | Inférieur au bac | Supérieur long | Écart |
|---|---|---|---|
| 18-29 | 37,6% | 67,7% | 30,1 points |
| 30-44 | 30,9% | 56,0% | 25,1 points |
| 45-59 | 21,5% | 40,5% | 19,0 points |
| 60-79 | 10,5% | 43,8% | 33,4 points |
Ce tableau répond plus directement à la question que douze coefficients : le gradient scolaire s’élargit-il, se resserre-t-il ou reste-t-il relativement stable selon l’âge ? Le test global indique ensuite si les variations observées sont suffisamment marquées, relativement à leur incertitude, pour soutenir une interaction sur l’échelle du modèle.
L’absence d’interaction sur l’échelle du logit n’implique pas nécessairement des écarts constants en points de probabilité. Inversement, des écarts de probabilité qui changent visuellement ne signifient pas toujours qu’un terme multiplicatif est nécessaire sur l’échelle du logit.
Pour communiquer une interaction logistique, il faut donc préciser :
Ajouter une interaction augmente le nombre de paramètres et segmente l’information. Les cellules rares ont des IC plus larges ; certaines combinaisons peuvent devenir quasiment non informatives.
Un modèle sans interaction peut alors être préférable non parce que « l’interaction n’est pas significative », mais parce qu’il représente plus parcimonieusement l’information disponible et répond suffisamment à la question.
Le diplôme renvoie ici à une stratification sociale des pratiques ; l’âge renvoie à des positions différentes dans le cycle de vie. L’interaction demande si la stratification scolaire de la pratique sportive se recompose selon ces positions d’âge. Cette formulation est plus informative que « le terme d’interaction est-il significatif ? ».
Les classes d’âge comparent des personnes différentes dans une enquête transversale. Un contraste 18–29 / 60–79 peut refléter âge, génération, sélection et composition. Il ne décrit pas l’évolution d’une même personne au cours de sa vie.
Dans un modèle Y ~ X * Z, que signifie le coefficient principal de X ?
Il correspond à l’association de X lorsque Z est à sa valeur ou catégorie de référence. Avec une interaction, les « effets principaux » ne sont donc plus des effets moyens généraux.
Estimez les modèles additif et interactif diplôme × âge sur le même échantillon analytique.
Expliquez pourquoi un tableau de contrastes de probabilités peut être plus informatif qu’une table brute de coefficients d’interaction.
Proposez une autre interaction sociologiquement justifiée. Avant de l’estimer, écrivez : hypothèse substantive, cellules nécessaires, direction attendue, échelle sur laquelle le contraste sera communiqué et raison pour laquelle l’interaction serait informative.
Le chapitre suivant élargit le choix du modèle à d’autres types de réponses : ordinales, multinomiales et de comptage.